变分不等式

0. 前言

• 大部分学习资料来自于何炳生教授的 主页
• 已弃坑，待填。

1. 变分不等式

• 设 $\Omega$ 为 $R^n$ 中的一个非空闭凸集，$F$ 是 $R^n$ 到 $R^n$ 的一个连续映射（向量函数），单调变分不等式问题就是寻找 $x^*$： $$x^*\in\Omega, F(x^*)^T(x-x^*)\geq 0, \forall x \in\Omega$$ 单调是指 $F$ 满足 $(u-v)^T(F(u)-F(v))\geq 0$ 。

2. 与可微凸优化的关系

设 $f: R^n \rightarrow R$ 为可微凸函数，凸优化问题：

$$\min f(x), x\in \Omega$$

则最优点必须有：

• 它属于 $\Omega$
• 它的邻域内无可行下降方向

可求 $f$ 梯度 $\triangledown f(x)$ ，记

• $Sd(x)={s\in R^n| s^T\triangledown f(x)<0}$ 为点 $x$ 处的可行方向集（ $s$ 为下降向量满足逆梯度）
• $Sf(x)={s\in R^n| s=x’-x, x’\in\Omega}$ 为点 $x$ 处的下降方向集（ $s$ 为下降向量满足下降后向量仍在集合内）

那么凸优化条件可表述为：

$$x\in\Omega,\ \ and\ \ Sf(x)\cap Sd(x)\neq\varnothing$$

其等价数学形式为：

$$x\in\Omega, (x'-x)^T\triangledown f(x)\geq 0, \forall x'\in\Omega$$

（暂时弃坑，等系统学习完凸优化后再来补充）